# 一、特征值分解

首先根据特征值与特征向量的定义有$Ax=λx$，其中 x 是一个 n 维向量，则我们说 λ 是矩阵 A 的一个特征值，x 是矩阵 A 的特征值 λ 所对应的特征向量，一个矩阵的一组向量是一组正交向量 Q。 特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

$$A=Q\Sigma Q^-1$$

# 二、奇异值分解（SVD）

SVD 也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD 并不要求矩阵为方阵。假设我们的矩阵 A 是一个 m×n 的矩阵，那么我们定义矩阵 A 的 SVD 为：

$$A=U\Sigma V^-1$$

其中 Σ 是一个 mxn 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为 0, 主对角线上的每个元素都称为奇异值，且特征矩阵等于奇异矩阵的平方，即

$$\sigma _{i}=\sqrt{\lambda _{i}}$$

U 是一个 mxm 的矩阵，V 是一个 nxn 的矩阵。U 和 V 都是酉矩阵，即满足

$$\begin {array}{c} U^{T}U=I\\ V^TV=I \end {array}$$

# 三、matlab 的 svd 函数

$$[u,s,v]=svd(A)$$

该函数返回一个与 A 同大小的对角矩阵 S，两个酉矩阵 U 和 V，满足$A = USV^T$