# 一、格拉姆矩阵判据

对于线性时不变系统

$$\begin {array}{c} X=Ax+Bu\\ Y=Cx+Du\end {array}$$

系统完全能控的充分必要条件是对于任意时刻 t>0，都有$n\times n$ 维可控性格拉姆矩阵非奇异（不可逆）

$$W_{c}=\int_{0}^{\infty } e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }d\tau$$

系统完全能观的充分必要条件是对于任意时刻 t>0，都有$n\times n$ 维可观测性格拉姆矩阵非奇异（不可逆）

$$W_{o}=\int_{0}^{\infty } e^{A^{T}\tau }C^{T}Ce^{A\tau }d\tau$$

# 二、计算方法（来源于 matlab 官方文档）

可控性格拉姆矩阵 Wc 通过求解如下连续时间 Lyapunov 方程得到

$$AW_{c}+W_{c}A^{T}+BB^{T}=0$$

同样，可观测性格拉姆矩阵 Wo 可以通过求解如下连续时间 Lyapunov 方程得到

$$A^{T}W_{o}+W_{o}A+C^{T}C=0$$

# 三、matlab 的格拉姆矩阵计算

# gram () 函数

sys=ss(A,B,C,D);

Wc=gram(sys,'c');

Wo=gram(sys,'o');

# lyap () 函数

Wc=lyap(A,B*B');

Wo=lyap(A',C'*C);