# 一、数学期望 E (x)

数学期望简称期望或均值，它是随机变量取值的平均值，数学期望的计算公式为
离散型：

$$E\left ( X \right ) =\sum_{i}^{} x_{i}p_{i}$$

连续型：

$$E\left ( X \right ) =\int_{-\infty }^{+\infty } xf\left ( x \right ) dx$$

性质 1：设 c 是常数，则$E(c)=c$
性质 2：设 X 是随机变量，c 是常数，则$E(cX)=cE(x)$
性质 3：设 X，Y 是随机变量，则$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
性质 4：设 X，Y 是随机变量，若 X，Y 相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$

# 二、方差 D (x)

方差 D (X) 是 X 的取值相对其均值 E (X) 分散程度的度量值。D (X) 小，表示 X 的取值集中在 E (X) 附近；D (X) 大，表示 X 的取值相对于 E (X) 比较分散，方差的计算公式为

$$D\left ( X \right ) =E\left [ \left ( X-E\left ( X \right ) \right ) ^{2} \right ] =E\left ( X^{2} \right ) -\left ( E\left ( X \right ) \right ) ^{2}$$

性质 1：设 c 是常数，则$D(c)=0$
性质 2：设 X 是随机变量，c 是常数，则$D(cX)=c^{2}D(x)$
性质 3：设 X，Y 是随机变量，则

$$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$

注：当 X 和 Y 相互独立时，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

# 三、协方差 cov (X,Y) 和相关系数 ρ(X,Y)

# 协方差

协方差是反应随机变量 X,Y 之间关联程度的一个量，协方差的计算公式为

$$cov\left ( X,Y \right ) =E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$$

如果令 X=Y，则有$cov(X,X)=D(X)$

性质 1：$cov(X,Y)=cov(Y,X)$，特别的，$cov(X,0)=0$
性质 2：$cov(aX,bY)=abcov(X,Y)$
性质 3：$cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)$
另外，设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是$n$ 维随机变量，$X_{i}\space$ 与$X_{j}\space$ 的协方差都存在，$cov(X_{i},X_{j})=c_{ij},i,j=1,2,\cdots,n$，则矩阵

$$C=\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}$$

称为$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 的协方差矩阵

# 相关系数

协方差 cov 的值一般受 X,Y 量纲的影响，通过把 X,Y 标准化，则可得到相关系数来消除这一影响，相关系数的定义为

$$\rho (X,Y)=cov(X^{*},Y^{*})=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$$

其中 $X^{*}=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)} }\space$，$Y^{*}=\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)} }\space$，易知$\rho (X,Y)$ 是无量纲的数

性质 1：$\rho (X,Y)=\rho (Y,X)$
性质 2：$\left | \rho (X,Y) \right | \le 1$